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线性代数相关：坐标变换
坐标变换公式：
注：视频中这里的公式有误
首先，第一行$\mathbf{u_i}$表示一个列向量，不用转置；
其次，第二行$u_{j,k}$的计算式不应该对$k$求和，应该对两个向量的每个分量相乘求和
含义：
系$i$下的坐标=系$j$下各正交基的线性组合
系$j$下各正交基的系数=系$i$下的坐标$\cdot$系$j$中各正交基在系$i$下的坐标（投影）
写成矩阵（$\mathbf{V_{i,j}}$是$\mathbf{v_{i,j,k}}$按列拼起来的矩阵）：
取转置（正交矩阵的转置为其逆）：
无穷维向量——函数
把函数理解为无穷维向量
向量内积：
函数内积：
函数的坐标变换——积分变换
上式中，$\left\langle f(x),g(x) \right\rangle$是一个数，相当于是一个坐标值；
由于函数是无穷维向量，想复原这个无穷维向量，需要无穷个坐标值。
因此有：
其中$F(\omega)$称为“像函数”，相当于“新坐标系下无穷个坐标值”；$g(x,\omega)$是“无穷个正交函数组”，此之谓“积分变换”！
可以用像函数复原原函数：
复数、复变函数的内积
需要取共轭（否则不满足$\left\langle \mathbf{a,a} \right\rangle=||a||^2$）
复空间中的积分变换
正变换：
逆变换：
注意，正变换要取共轭（相当于求内积/坐标值）；逆变换不取共轭（相当于基函数的线性组合）
工程学理论——微分方程
弹簧-质量-阻尼 力学系统：
电容-电阻-电感 电学系统：
二阶常系数微分方程求解：怎么解？
差分与微分，求和与积分
可用矩阵计算差分：
可用矩阵计算求和：
函数的求导看作无穷维矩阵：
函数的积分看作无穷维矩阵：
求导、积分矩阵的“特征向量”
指数函数！
令$s=\sigma+j\omega$，得到三角函数
指数函数与三角函数的关系
注意到，两个复指数项的系数是共轭的
特征向量的用处
由于求导/积分运算的特征函数是复指数，因此若能把一个函数表示成复指数的线性组合，就能把微分方程化为代数方程
用特征函数解微分方程
略（注意有重根时的推导）
用三角函数作为正交基
定理：周期函数可以表示为具有相同周期的复指数函数的线性组合，这些函数两两正交且归一（证明略）
周期函数的频率分解——傅里叶级数
设有一个周期函数$f(t)$周期为$T$，即频率$f_0=\frac{1}{T}$，角频率$\omega_0=2\pi f_0$，希望找到它在各个复指数基函数（$f_0,2f_0,3f_0,\dots,nf_0,\dots$）上的投影（求投影）：
由投影复原原函数（求线性组合）：
频率间隔：$\Delta f=f_0=\frac{1}{T}$，故周期越长，频谱越密，最终趋于连续函数
非周期函数的频率分解——傅里叶变换
正变换（求投影）：
逆变换（求线性组合）：
